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二次函数应用题
例1 、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线 ，当球运行的水平距离为2.5米时 ，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈 。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
(1)建立如图所示的直角坐标系 ，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1.8米 ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手 ，
问：球出手时 ，他跳离地面的高度是多少？
简解：
(1)由于抛物线的顶点是 (0，3.5) ，故可设其解析式为y=ax2+3.5。又由于抛物线过(1.5 ，3.05)，于是求得a=-0.2 。∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5 。
(2)当x=-2.5时 ，y=2.25。∴球出手时 ，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米) 。
评析：运用投球时球的运动轨迹 、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜 。解这类问题一般分为以下四个步骤：
(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；
(2)根据给定的条件 ，找出抛物线上已知的点 ，并写出坐标；
(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。①当已知三个点的坐标时 ，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k ，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-k)2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1 ，0)、(x2 ，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；
(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标 ，从而使问题获解 。
例2 、某商场购进一批单价为16元的日用品 ，经试验发现，若按每件20元的价格销售时 ，每月能卖360件 ，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．
(1)试求y与x之间的关系式；
(2)在商品不积压 ，且不考虑其他因素的条件下 ，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
解：(1)依题意设y=kx+b ，则有
所以y=-30x+960(16≤x≤32)．
(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)
=30(-x+32)(x-16)
=30( +48x-512)
=-30 +1920．
所以当x=24时 ，P有最大值，最大值为1920．
答：当价格为24元时 ，才能使每月获得最大利润 ，最大利润为1920元．
注意：数学应用题来源于实践，用于实践 ，在当今社会市场经济的环境下 ，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本 ，然后再利用一元二次函数求最值．
例3 、在体育测试时 ，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示 ，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0 ，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6 ，5)
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米 ， )
解：(1) 设二次函数的解析式为
，顶点坐标为 (6 ，5)
A(0 ，2)在抛物线上
(2) 当 时，
(不合题意 ，舍去)
（米）
答：该同学把铅球抛出13.75米.
例4、某商场以每件42元的价钱购进一种服装 ，根据试销得知：这种服装每天的销售量 （件），与每件的销售价 （元/件）可看成是一次函数关系：
1.写出商场卖这种服装每天的销售利润 与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
2.通过对所得函数关系式进行配方 ，指出：商场要想每天获得最大的销售利润 ，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定 。
在这个问题中，每件服装的利润为（ ），而销售的件数是（ +204） ，那么就能得到一个 与 之间的函数关系 ，这个函数是二次函数.
要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值.
解：（1）由题意 ，销售利润 与每件的销售价 之间的函数关系为
=（ －42）（－3 ＋204） ，即 =－3 2+ 8568
（2）配方，得 =－3（ －55）2+507
∴当每件的销售价为55元时 ，可取得最大利润 ，每天最大销售利润为507元.
例5 、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时 ，正常情况下 ，该运动员在空中的最高处距水面 米，入水处距池边的距离为4米 ，运动员在距水面高度为5米以前 ，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中 ，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线 ，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 米 ，问此次跳水会不会失误？
并通过计算说明理由
分析：（1）在给出的直角坐标系中 ，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标 ，如起跳点O（0 ，0），入水点（2 ，－10） ，最高点的纵点标为 .
（2）求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误 ，就是要看当该运动员在距池边水平距离为 米. 时 ，该运动员是不是距水面高度为5米.
解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B ，抛物线的解析式为 .
由题意 ，知O（0，0） ，B（2 ，－10），且顶点A的纵坐标为 .
解得 或
∵抛物线对称轴在 轴右侧 ，∴
又∵抛物线开口向下 ，∴a＜0,b＞0
∴抛物线的解析式为
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为 米时，
即 时 ，
∴此时运动员距水面的高为
因此 ，此次跳水会失误.
例6 、某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套 ，正常销售时每套600元 ，每月可买出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装 ，此品牌服装进价每套200元 ，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会 ，若这一机会错过 ，估计一年内进不到这种服装，可是 ，经销商手头无流动资金可用 ，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商 ，达成协议 ，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：
转让数量（套） 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100
价格（元/套） 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案2：全部转让A品牌服装 ，用转让来的资金购B品牌服装后 ，经销B品牌服装；
方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装 ，同时经销A品牌服装 。
问：
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3 ，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？
解：经销商甲的进货成本是= =480000（元）
①若选方案1，则获利1200 600-480000=240000（元）
若选方案2 ，得转让款1200 240=288000元 ，可进购B品牌服装 套，一年内刚好卖空可获利1440 500-480000=240000（元） 。
②设转让A品牌服装x套 ，则转让价格是每套 元 ，可进购B品牌服装 套，全部售出B品牌服装后得款 元 ，此时还剩A品牌服装（1200-x）套 ，全部售出A品牌服装后得款600（1200-x）元，共获利 ，故当x=600套时 ，可的最大利润330000元。
三、练习题：
1 、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量 （件）与每件的销售价 （元）满足一次函数：
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润 与每件的销售价 间的函数数关系式.
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润 ，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
2 、如图 ，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃 ，设矩形 的边 米 ，面积为 平方米.
（1）求： 与 之间的函数关系式，并求当 米2时 ， 的值；
（2）设矩形的边 米 ，如果 满足关系式 即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽.
练习1答案：
当定价为42元时 ，最大销售利润为432元.
练习2答案：（1）
当 时 ，
（2）当 则 ①
又 ②
由①、②解得 ，
其中20 不合题意 ，舍去 ，
当矩形成黄金矩形时，宽为 ，长为 .
3 、某地要建造一个圆形喷水池 ，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水 ，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下 ，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示 ，如图建立直角坐标系 ，水流喷出的高度 与水平距离 之间的关系式是 .
请回答下列问题：
1.柱子OA的高度为多少米？
2.喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
3.若不计其它因素，水池的半径至少要多少米 ，才能喷出的水流不至于落在池外？
练习3答案：
（1）OA高度为 米.
（2）当 时 ， ，即水流距水平面的最大高为 米.
（3）
其中 不合题意 ，
答：水池的半径至少要2.5米 ，才能使喷出的水流不至于落在池外.
初三二次函数与一次函数综合题 。求解
从图知，两交点为（5,0）和（0，-5） ，对称轴x=2
解出一次函数：
0=5m+n ，-5=n
解出m=1，n=-5
一次函数为y=x-5
二次函数：
对称轴x=-b/2a=2
0=25a+5b+c ，-5=c
解出a=1 ，b=-4，c=-5
所以二次函数y=x^2-4x-5
1.当x>5时y1＞0 ，y2＜0?
2.当x<-1时y2＞0 ，y1＜0?
3.当x≤2时y2随x的增大而减小
4.当x=0或x=5时y1=y2,
当x<0或x>5时y1＜y2,
当0<x<5时y1＞y2
你好
第一问只需将A 、B两点代入，即可求得A=1 ，B=2,且C点坐标为（-3,0）
所以抛物线解析式为y=x?+2x-3
(2)设P（x0,y0）则有PB⊥BC ，即两直线的斜率之积为-1，[(y0+3)/x0]*[-3/3]=-1
所以y0=x0-3,且y0=x0?+2x0-3（x0<0,y0<0）
解得x0=-1,y0=-4 所以P(-1 ，-4)
（3）要使得四边形PQCB为直角梯形 ，即要有QC⊥CB,则直线QC的斜率k为1，所以yQ=xQ-3
又因为要使Q点在抛物线上，所以有yQ=xQ?+2xQ-3
得xQ=0,yQ=-3,与B点重合 所以这样的Q点是不存在的
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